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LeetCode - 837.新21点

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题面

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

样例

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输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
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输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
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输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
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1. 0 <= K <= N <= 10000
2. 1 <= W <= 10000
3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。

思路

定义这样的dp数组
$$dp[i] = 令初始分数为i，抽牌结束后不超过N的概率$$

初始化 $dp$ 数组的时候 $dp[i]=1,i \in [K,N]$ $dp[i]=0,i \in (N,+ \infty )$

当初始分数为 $K-1$ 时，很明显知道概率为 $P= \frac{\sum_{i=K}^{K+W} dp[i]}{W}$ ，这时顺着公式从k-1推回0即可。

但是这里注意一下数据范围，如果是这样先循环一个 $K$ ，再循环 $W$ ，时间复杂度会很高所以在处理的时候注意一下那一段 $\sum_{i=K}^{K+W} dp[i]$ ，计算的时候可以减去区间后面的，再加上区间前面的。

代码

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double new21Game(int N, int K, int W) {
    vector<double> dp(N + W + 1, 0);
    for(int i = K; i <= N; i++) dp[i] = 1;
    double tmp = 0;
    for(int i = K + 1; i <= K + W; i++) tmp += dp[i];
    for(int i = K - 1; i >= 0; i--) {
        tmp += dp[i + 1];
        tmp -= dp[i + 1 + W];
        dp[i] = tmp / W;
    }
    return dp[0];
}